De vergroting van een (verre)kijker
Het lijkt zo’n simpel begrip, vergroting. Maar als je het nader bekijkt, dan ligt verwarring op de loer. Voor het boek ging het te ver om er diep op in te gaan, maar hier op de website heb ik er plekje voor ingeruimd.
Wat voor mijn gevoel voor de hand zou liggen, is dat een kijker die bijvoorbeeld 7x vergroot, een object er 7 keer groter uit laat zien. Dus de maan, die zonder vergroting een hoekgrootte heeft van een halve graad, zou met een 7x verrekijker op je netvlies een hoekgrootte krijgen van 3,5 graden.
Deze redenering kan je ook toepassen op het hele beeldveld: Het zou toch logisch zijn dat een 7x vergrotende kijker met een beeldveld van 8 graden, dit beeldveld als een schijnbaar beeldveld toont met een hoekgrootte van 56 graden.
Mis! Zo hebben de natuurkundigen het niet gedefinieerd.
Hoe zit het dan wel?
De vergroting van een telescoop/verrekijker is formeel zo omschreven, dat de hoek van het gevormde beeld, het schijnbaar beeldveld, overeenkomt met de hoek van hetzelfde beeld met het ‘ongewapende’ oog, op een afstand van de vergrotingswaarde zo dichtbij.
Oftewel, een 7x verrekijker laat je dingen zien alsof je 7 keer dichterbij bent. Dit plaatje geeft dat weer.
Wiskundig is dit niet hetzelfde als dat je objecten 7 keer zo groot ziet.
Dit kun je inzien door in de tekening de rechte hoeken te beschouwen:
d : afstand van de waarnemer tot het object
V: vergroting
h: helft van de hoogte van het object
ω: helft van de hoekgrootte van het beeldveld
ω': helft van de hoekgroote van het schijnbaar beeldveld
Met middelbare school goniometrie:
(1)
(2)
Uit (1) volgt:
(3)
Uit (2) volgt:
(4)
Substitueer (3) in (4) en dan krijg je:
Dat is dus anders dan de vergroting die naar mijn gevoel voor de hand zou liggen, waar ik dit stuk mee begon. Die zou namelijk zijn: ω'/ω
Echter, de ontwikkeling van de verrekijker nam in de geschiedenis een verrassende wending, waardoor we deze stelling moeten nuanceren.
Het globe-effect
Tot de eerste helft van de twintigste eeuw werden de meeste verrekijkers gemaakt volgens een slim ontwerp, dat een onvervormd beeld oplevert. Er rezen echter twijfels. Tijdens beide wereldoorlogen waren verrekijkers belangrijke instrumenten op de slagvelden. Officieren meldden een vaak terugkerende klacht: als de omgeving werd gescand en de kijker over het landschap werd bewogen, leek het beeld over een boloppervlak te rollen. Optisch specialisten onderzochten het nader. Het bleek dat de verrekijkers in orde waren, en dat de oorzaak in het visuele systeem van de mens lag. Dit fenomeen wordt tegenwoordig het globe-effect genoemd.
Vanaf 1947 besloot de firma Zeiss om het ontwerp met onvervormd beeld te verlaten en een zekere mate van kussenvervorming aan hun verrekijkers toe te voegen. De meeste toonaangevende verrekijkerfabrikanten volgden kort daarna hetzelfde pad. Sindsdien zijn de meeste verrekijkers op de markt voorzien van een beetje opzettelijke beeldvervorming om de impact van het globe-effect tegen te gaan.
Het globe-effect is per persoon verschillend en de mate van kussenvervorming die fabrikanten toepassen, is een gekozen middenweg na uitgebreid testen met proefpersonen.
Het toeval wil dat voor het ontwerp mét kussenvervorming de vergroting tóch de verhouding tussen het beeldveld en het schijnbare beeldveld min of meer weergeeft. Dus:
- Beeldveld van kijker * Vergroting ≈ Schijnbaar beeldveld
Eind goed, al goed :-)
Wil je meer van weten over het globe-effect, met achtergrond, illustraties en (meer) formules, lees dan de webpagina van Holger Merlitz. en de verwijzingen in dit artikel.